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To determine the value of \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \), we need to follow these steps:

1、Identify the antiderivative of the integrand \( x^2 \).
2、Evaluate the antiderivative at the upper limit of integration (1) and subtract the value of the antiderivative at the lower limit of integration (0).

The antiderivative of \( x^2 \) is found using the power rule for integration, which states that the antiderivative of \( x^n \) is \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) for \( n \neq -1 \)、Applying this rule to \( x^2 \):

\[
\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}
\]

Now, we evaluate this antiderivative at the upper limit (1) and the lower limit (0):

\[
\left、\frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} 0 = \frac{1}{3}
\]

Therefore, the value of the integral \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \) is \(\boxed{\frac{1}{3}}\).

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提问时间: 2025-12-27 02:10:33

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